Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，過點B的直線與拋物線的另一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，與y軸交于點F，且，△OBE的面積為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設P為已知拋物線上的任意一點，當△ACP的面積等于△ACB的面積時，求點P的坐標；

（3）點Q（0，m）是y軸上的動點，連接AQ、BQ，當∠AQB為鈍角時，則m的取值范圍是　 　．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）且

【解析】

（1）首先根據拋物線解析式找到拋物線的對稱軸，然后根據平行線分線段成比例得出HG＝HO＝1，OB＝2，進而求出點B的坐標，然后根據△OBE的面積及平行線分線段成比例得出點D的坐標，最后利用待定系數法即可求解；

（2）首先根據拋物線的解析式求出A,C的坐標，然后利用待定系數法求出直線AC的解析式，然后設，則，利用ACP的面積等于ACB的面積建立一個關于m的方程，解方程求解即可；

（3）先利用勾股定理求出當時m的值，以及排除當A,Q,B三點共線時的m的值，即可得出當∠AQB為鈍角時m的取值范圍．

解：（1）作DG⊥x軸于G，對稱軸交x軸于H，如圖，

∵拋物線為，

∴對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，則OH＝1．

∴OF∥EH∥DG，

∴GH：HO：OB＝DE：EF：FB＝1：1：2，

∴HG＝HO＝1，OB＝2，

∴B（2，0）．

∵△OBE的面積為，

∴×2×EH＝，解得EH＝．

∵OF∥EH∥DG，

∴＝＝，則DG＝×＝3，

∴D（﹣2，3）．

把B（2，0），D（﹣2，3）代入y＝ax2+2ax+c中，得

解得

∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣x+3 ；

（2）令 ，則，

令，則，解得．

，

．

設直線AC的解析式為 ，

將代入解析式中得

解得

∴直線AC的解析式為y＝x+3．

過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，

設，則，

，

即 ，

當時，

解得 ，

當時，

此時 與重合，故舍去；

當時，

此時 ．

當時，

化簡得，

此時 ，

∴該方程無實數根，

綜上所述，點P的坐標為；

（3）由（2）知， ，

又∵ ，

．

當 時，

，

即，

解得 ．

當時，A,B,Q三點共線，不符合題意，

∴ ，

∴∠AQB為鈍角時，則m的取值范圍是且．