Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）過點D作DE⊥BD，交BC的延長線于點E，若BC＝5，BD＝8，求四邊形ABED的周長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）26.

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠ADB＝∠CBD，根據角平分線定義得到∠ABD＝∠CBD，等量代換得到∠ADB＝∠ABD，根據等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根據菱形的判定即可得到結論；

（2）由垂直的定義得到∠BDE＝90°，等量代換得到∠CDE＝∠E，根據等腰三角形的判定得到CD＝CE＝BC，根據勾股定理得到DE＝＝6，于是得到結論．

（1）證明：∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∴AD＝AB，

∵BA＝BC，

∴AD＝BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵BA＝BC，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）解：∵DE⊥BD，

∴∠BDE＝90°，

∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，

∵CB＝CD，

∴∠DBC＝∠BDC，

∴∠CDE＝∠E，

∴CD＝CE＝BC，

∴BE＝2BC＝10，

∵BD＝8，

∴DE＝＝6，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝BC＝5，

∴四邊形ABED的周長＝AD+AB+BE+DE＝26．