Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，△ABC滿足∠BCA＝90°，AC＝BC＝，點A、C分別在x軸和y軸上，當點A從原點開始沿x軸的正方向運動時，則點C始終在y軸上運動，點B始終在第一象限運動．

（1）當AB∥y軸時，求B點坐標．

（2）隨著A、C的運動，當點B落在直線y＝3x上時，求此時A點的坐標．

（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點D，使以O、A、B、D為頂點的四邊形面積是4？如果存在，請直接寫出點D的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點B坐標為（，）（2）點A（2，0）；（3）存在點D，點D坐標為（0，﹣1）或（0，2）.

【解析】

（1）根據勾股定理，可得AB的長，根據勾股定理，可得AO的長，可得B點坐標；

（2）根據全等三角形的判定與性質，可得BE＝OC＝x，EC＝OA＝x，根據勾股定理，可得x的長，可得A點坐標；

（3）分類討論：①D在y軸的正半軸上；②D在y軸的負半軸上，根據面積的和差，可得關于y的方程，根據解方程，可得答案．

（1）∵∠BCA＝90°，AC＝BC＝，

∴∠BAC＝45°，AB＝＝

∵AB∥y軸，

∴∠BAO＝90°＝∠COA

∴∠CAO＝45°＝∠OCA

∴CO＝AO

∵AO2+CO2＝AC2，

∴2AO2＝5

∴AO＝

∴點B坐標為（，）

（2）如圖，過點B，作BE⊥y軸，垂足為點E，

∵∠BCE+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°

∴∠BCE＝∠CAO，且AC＝BC，∠BEO＝∠AOC

∴△AOC≌△CEB（AAS）

∴BE＝CO，AO＝CE

∵點B落在直線y＝3x上

∴設B（x，3x）

∴BE＝x＝OC，OE＝3x，

∴CE＝OA＝2x，

∵OA2+OC2＝AC2

∴（2x）2+x2＝5

∴x＝1

∴OA＝2x＝2

∴點A（2，0）

（3）設點D（0，y）

當點D在y軸正半軸上，如圖，連接OB，

∵S四邊形ABDO＝S△AOB+S△BDO＝4

∴×y×1+×2×3＝4

∴y＝2

∴點D（0，2）

若點D在y軸負半軸上，如圖，連接OB，

∵S四邊形ABDO＝S△AOB+S△ADO＝4

∴×2×3+×2×（﹣y）＝4

∴y＝﹣1

∴點D坐標為（0，﹣1）.

∴存在點D，點D坐標為（0，2）或（0，﹣1）.