Question

【題目】如圖，在中，，D是AB上的點，過點D作交BC于點F，交AC的延長線于點E，連接CD，，則下列結論正確的有（ ）

①∠DCB=∠B；②CD=AB；③△ADC是等邊三角形；④若∠E=30°，則DE=EF+CF．

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，根據等角的余角相等，可得①∠DCB=∠B正確；

由①可證得AD=BD=CD，即可得②CD=AB正確；

易得③△ADC是等腰三角形，但不能證得△ADC是等邊三角形；

由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，則可證得DF=CF，繼而證得DE=EF+CF．

在△ABC中，∵∠ACB=90°，DE⊥AB，∴∠ADE=∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°．

∵∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，∠DCB=∠B；故①正確；

∴CD=BD．

∵AD=BD，∴CD=AB；故②正確；

∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，但不能判定△ADC是等邊三角形；故③錯誤；

∵∠E=30°，∴∠A=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ADC=30°．

∵∠ADE=∠ACB=90°，∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，∴CF=DF，∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正確．

故選B．