Question

【題目】把一張邊長為40 cm的正方形硬紙板，進行適當的裁剪，折成一個長方體盒子(紙板的厚度忽略不計)．

(1)如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪掉一個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方體盒子．

①要使折成的長方體盒子的底面積為484 cm2，那么剪掉的正方形的邊長為多少？

②折成的長方體盒子的側面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由．

(2)若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上)，將剩余部分折成一個有蓋的長方體盒子．若折成的一個長方體盒子的表面積為550 cm2，求此時長方體盒子的長、寬、高(只需求出符合要求的一種情況)．

Answer 1

【答案】(1)剪掉的正方形的邊長為9 cm；

(2)當剪掉的正方形的邊長為10 cm時，長方體盒子的側面積最大為800 cm2.

(3)此時長方體盒子的長為15 cm，寬為10 cm，高為5 cm.

【解析】

試題（1）①根據題意列出一元二次方程，求解即可；

②設折成的長方形盒子的側面積為S，列出S關于x的二次函數，求出最大值即可；

（2）按圖示進行剪裁，根據等量關系，列出一元二次方程，求解即可.

試題解析：（1）①設剪掉的正方形的邊長為xcm．
則（40-2x）2=484，
即40-2x=±22，
解得x1=31（不合題意，舍去），x2=9，
∴剪掉的正方形的邊長為9cm．
②側面積有最大值．
設剪掉的小正方形的邊長為acm，盒子的側面積為ycm2，
則y與a的函數關系為：y=4（40-2a）a，
即y=-8a2+160a，
即y=-8（a-10）2+800，
∴a=10時，y最大=800．
即當剪掉的正方形的邊長為10cm時，長方形盒子的側面積最大為800cm2．

（2）在如圖的一種剪裁圖中，設剪掉的長方形盒子的邊長為xcm．

2（40-2x）（20-x）+2x（20-x）+2x（40-2x）=550，
解得：x1=-35（不合題意，舍去），x2=15．
∴剪掉的長方形盒子的邊長為15cm．
40-2×15=10（cm），
20-15=5（cm），
此時長方體盒子的長為15cm，寬為10cm，高為5cm．