Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2﹣2x+c與x軸交于點A和點B（1，0），與y軸相交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式和頂點D的坐標；

（2）求證：∠DAB=∠ACB；

（3）點Q在拋物線上，且△ADQ是以AD為底的等腰三角形，求Q點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，4）；（2）∠DAB=∠ACB；（3） ，

【解析】試題分析：（1）把B、C坐標代入拋物線解析式中，解方程組即可得到拋物線解析式，從而得到拋物線頂點坐標；

（2）由tan∠OCB=．tan∠DAC=，得到∠DAC=∠OCB，從而得到結論；

（3）令Q（x，y）且滿足，由△ADQ是以AD為底的等腰三角形，得到QD2=QA2，從而得到x-2+2y=0．解方程組，即可得到結論．

試題解析：解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，

得：，解得：．

∴拋物線的解析式是：，∴頂點坐標D（－1，4）．

（2）令y=0，則，x1=－3，x2=1，∴A（－3，0），∴OA=OC=3，∴∠CAO=∠OCA．在Rt△BOC中，tan∠OCB=．

∵AC=，DC=，AD=，∴AC2+DC2=20，AD2=20，∴AC2+DC2=AD2，∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，∴tan∠DAC=．

又∵∠DAC和∠OCB都是銳角，∴∠DAC=∠OCB，∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，即∠DAB=∠ACB．

（3）令Q（x，y）且滿足，A(－3，0），D（－1，4）．∵△ADQ是以AD為底的等腰三角形，∴QD2=QA2，即 ，化簡得：x-2+2y=0．

由，解得：，，

∴點Q的坐標是（，），（，）．