Question

【題目】如圖，拋物線y＝－x2－x＋與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸于點C，已知點D(0，－)．

（1）求直線AC的解析式；

（2）如圖1，P為直線AC上方拋物線上的一動點，當△PBD的面積最大時，過P作PQ⊥x軸于點Q，M為拋物線對稱軸上的一動點，過M作y軸的垂線，垂足為點N，連接PM、NQ，求PM＋MN＋NQ的最小值；

（3）在（2）問的條件下，將得到的△PBQ沿PB翻折得到△PBQ′，將△PBQ′沿直線BD平移，記平移中的△PBQ′為△P′B′Q″，在平移過程中，設直線P′B′與x軸交于點E，則是否存在這樣的點E，使得△B′EQ″為等腰三角形？若存在，求此時OE的長．

Answer 1

【答案】（1）直線AC的表達式為；（2）的最小值為；（3）或或或.

【解析】分析：（1）求出兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題；

過點P作y軸的平行線交直線BD于點F, 設點 ，則,表示出的長度，根據，構建出二次函數，根據二次函數的性質求出最值即可.

分三種情況進行討論即可.

詳解：（1）

、、

設直線AC的表達式為，將、代入解析式：

可得 則直線AC的表達式為 ；

（2）可得直線BD的解析式為，過點P作y軸的平行線交直線BD于點F,

設點 ，則.

，

.

當，即時，最大；

則，過點P作對稱軸的垂線，垂足為點，可得

作關于軸的對稱點，連接，交軸與點，

再過點作對稱軸的垂線，垂足為點，即、為所求點．

此時

，則最小值為 ；

（3）當時，或

當時，.

當時，.