Question

如圖，已知∠MON=30°，點A₁、A₂、A₃…在射線ON上，點B₁、B₂、B₃…在射線OM上，△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄…均為等邊三角形，若OA₁=1，則△A₅B₅A₆的邊長為

16

，△A₂₀₁₂B₂₀₁₂A₂₀₁₃的邊長為

2²⁰¹¹

．

Answer 1

分析：根據等腰三角形的性質以及平行線的性質得出A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，以及A₂B₂=2B₁A₂，得出A₃B₃=4B₁A₂=4，A₄B₄=8B₁A₂=8，A₅B₅=16B₁A₂…進而得出答案．

解答：解：∵△A₁B₁A₂是等邊三角形，
∴A₁B₁=A₂B₁，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA₁=A₁B₁=1，
∴A₂B₁=1，
∵△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄是等邊三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，B₁A₂∥B₂A₃，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A₂B₂=2B₁A₂，B₃A₃=2B₂A₃，
∴A₃B₃=4B₁A₂=4，
A₄B₄=8B₁A₂=8，
A₅B₅=16B₁A₂=16，
…
∴△A_nB_nA_n+1的邊長為 2^n-1．
∴，△A₂₀₁₂B₂₀₁₂A₂₀₁₃的邊長為2^2012-1=2²⁰¹¹．
故答案為：16，2²⁰¹¹．

點評：本題考查的是等邊三角形的性質以及等腰三角形的性質，根據已知得出A₃B₃=4B₁A₂，A₄B₄=8B₁A₂，A₅B₅=16B₁A₂進而發現規律是解題關鍵．