Question

【題目】(12分)如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，直線BD交拋物線于點D，并且D(2，3)，B(﹣4，0)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知點M為拋物線上一動點，且在第三象限，順次連接點B、M、C，求△BMC面積的最大值；

(3)在(2)中△BMC面積最大的條件下，過點M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣2；（2）S△BMC最大值為4；（3）存在；點Q的坐標為（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．

【解析】

（1）用待定系數法求出拋物線的解析式即可；

（2）首先求出三邊形BMC面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出其最大值；

（3）設點Q坐標為（﹣2，m）．先求出sin∠QHN的值，然后求出直線AC的表達式，從而得出點H的坐標．解Rt△QNH得出m的值．即可得到結論．

（1）將D（2，3）、B（﹣4，0）的坐標代入拋物線表達式得：，解得，∴拋物線的解析式為：yx2x﹣2．

（2）過點M作y軸的平行線，交直線BC于點K．

將點B、C的坐標代入一次函數表達式：y=k′x+b′得：，解得：，則直線BC的表達式為：．

設點M的坐標為（x，），則點K（x，），S△BMC=MKOB=2（）=﹣x2﹣4x．

∵a=﹣1＜0，∴S△BMC有最大值，當x==﹣2時，S△BMC最大值為4，點M的坐標為（﹣2，﹣3）；

（3）如圖所示，存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓，切點為N，過點M作直線平行于y軸，交直線AC于點H．

點M坐標為（﹣2，﹣3），設：點Q坐標為（﹣2，m），點A、C的坐標為（1，0）、（0，﹣2），tan∠OCA=．

∵QH∥y軸，∴∠QHN=∠OCA，∴tan∠QHN=，則sin∠QHN=．

將點A、C的坐標代入一次函數表達式：y=mx+n得：，則直線AC的表達式為：y=2x﹣2，則點H（﹣2，﹣6）．

在Rt△QNH中，QH=m+6，QN=OQ==，sin∠QHN= ，解得：m=4或﹣1．

即點Q的坐標為（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．