Question

【題目】如圖①，二次函數的拋物線的頂點坐標C，與x軸的交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點D（0，3）．

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）如圖②，過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中點E的橫坐標為﹣2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為直線PQ上的一動點，則x軸上是否存在一點H，使D、G、H、F四點所圍成的四邊形周長最小？若存在，求出這個最小值及點G、H的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖③，連接AC交y軸于M，在x軸上是否存在點P，使以P、C、M為頂點的三角形與△AOM相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】

【1】 設所求拋物線的解析式為：,將A(1,0)、B(-3,0)、 D（0,3）代入，得…………………………………………2分

即所求拋物線的解析式為：……………………………3分

【2】 如圖④，在y軸的負半軸上取一點I，使得點F與點I關于x軸對稱，

在x軸上取一點H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF＝HI…………………①

設過A、E兩點的一次函數解析式為：y＝kx＋b（k≠0），

∵點E在拋物線上且點E的橫坐標為-2，將x＝-2，代入拋物線，得

∴點E坐標為（-2，3）………………………………………………………………4分

又∵拋物線圖象分別與x軸、y軸交于點A(1,0)、B(-3,0)、

D（0，3），所以頂點C（-1,4）

∴拋物線的對稱軸直線PQ為：直線x＝-1， [中國教#&~@育出%版網]

∴點D與點E關于PQ對稱，GD＝GE……………………………………………②

分別將點A（1，0）、點E（-2，3）

代入y＝kx＋b，得：

解得：

過A、E兩點的一次函數解析式為：

y＝-x＋1

∴當x＝0時，y＝1

∴點F坐標為（0，1）……………………5分

∴=2………………………………………③

又∵點F與點I關于x軸對稱，

∴點I坐標為（0，-1）

∴……………………………………④

又∵要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個定值，

∴只要使DG＋GH＋HI最小即可 ……………………………………6分

由圖形的對稱性和①、②、③，可知，

DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

只有當EI為一條直線時，EG＋GH＋HI最小

設過E（-2，3）、I（0，-1）兩點的函數解析式為：，

分別將點E（-2，3）、點I（0，-1）代入，得：

解得：

過I、E兩點的一次函數解析式為：y＝-2x-1

∴當x＝-1時，y＝1；當y＝0時，x＝-；

∴點G坐標為（-1，1），點H坐標為（-，0）

∴四邊形DFHG的周長最小為：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI

由③和④，可知：

DF＋EI＝

∴四邊形DFHG的周長最小為. …………………………………………7分

【3】 如圖⑤，

由(2)可知，點A(1,0)，點C（-1,4），設過A(1,0)，點C（-1,4）兩點的函數解析式為：，得：

解得：，

過A、C兩點的一次函數解析式為：y＝-2x+2,當x＝0時，y＝2，即M的坐標為（0,2）；

由圖可知，△AOM為直角三角形，且， ………………8分

要使，△AOM與△PCM相似，只要使△PCM為直角三角形，且兩直角邊之比為1:2即可，設P(,0)，CM=，且∠CPM不可能為90°時，因此可分兩種情況討論； ……………………………………………………………………………9分

①當∠CMP=90°時，CM=，若則，可求的P（-4,0），則CP=5，，即P（-4,0）成立，若由圖可判斷不成立；……………………………………………………………………………………10分

②當∠PCM=90°時，CM=，若則，可求出

P（-3,0），則PM=，顯然不成立，若則，更不可能成立.……11分

綜上所述，存在以P、C、M為頂點的三角形與△AOM相似，點P的坐標為（-4,0）12分

【解析】

(1)直接利用三點式求出二次函數的解析式；

（2）若四邊形DFHG的周長最小，應將邊長進行轉換，利用對稱性，要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個定值，只要使DG＋GH＋HI最小即可，

由圖形的對稱性和，可知，HF＝HI，GD＝GE，

DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

只有當EI為一條直線時，EG＋GH＋HI最小，即

，DF＋EI＝

即邊形DFHG的周長最小為.

（3）要使△AOM與△PCM相似，只要使△PCM為直角三角形，且兩直角邊之比為1:2即可，設P(,0)，CM=，且∠CPM不可能為90°時，因此可分兩種情況討論，①當∠CMP=90°時，CM=，若則，可求的P（-4,0），則CP=5，，即P（-4,0）成立，若由圖可判斷不成立；②當∠PCM=90°時，CM=，若則，可求出P（-3,0），則PM=，顯然不成立，若則，更不可能成立. 即求出以P、C、M為頂點的三角形與△AOM相似的P的坐標（-4，0）