Question

【題目】二次函數的頂點是直線和直線的交點．

(1)用含的代數式表示頂點的坐標．

(2)①當時，的值均隨的增大而增大，求的取值范圍．

②若，且滿足時，二次函數的最小值為，求的取值范圍．

(3)試證明：無論取任何值，二次函數的圖象與直線總有兩個不同的交點．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①；②；(3)證明見解析.

【解析】

（1）解方程組即可求出頂點的坐標；

（2）①根據二次函數的增減性列式求解即可；②當時，拋物線為，函數的最小值為，所以可得，解之可求出的取值范圍；

（3）聯立兩個關系式，可得，然后根據一元二次方程根的判別式解答即可.

(1)由題意得，解得，

．

(2)①根據題意得，解得，

的取值范圍為.

②當時，頂點為，

拋物線為，函數的最小值為，

滿足時，二次函數的最小值為，

，

解得．

(3)，

得，

，

，

拋物線的頂點坐標既可以表示為，又可以表示為．

，，

，

，

，

無論取任何值，二次函數的圖象與直線總有兩個不同的交點．