Question

下列命題中，其中正確的命題個數有（ ）
（1）在△ABC中，已知AB=6，AC=，∠B=45°，則∠C的度數為60°；
（2）已知⊙O的半徑為5，圓心O到弦AB的距離為3，則⊙O上到弦AB所在直線的距離為2的點有3個；
（3）圓心角是180°的扇形是一個半圓；
（4）已知點P是線段AB的黃金分割點，若AB=1，則AP=．
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：（1）作出圖形，過點A作AD⊥BC于點D，然后求出AD的長度，再在Rt△ACD中，利用銳角的正弦值求出∠C的度數即可；
（2）作出圖形，根據圓的半徑為5，圓心到AB的距離為3作出到直線AB的距離為2的直線，與圓的交點的個數即為所求；
（3）根據半圓的圓心角等于180°解答；
（4）因為AP是較長的線段還是較短的線段不明確，所以分兩種情況討論求解．
解答：解：（1）如圖，過點A作AD⊥BC于點D，
∵AB=6，∠B=45°，
∴AD=ABsin45°=6×=3，
又∵AC=，
∴sin∠C===，
∴∠C=60°，故本小題正確；
（2）如圖所示，到直線AB的距離為2的點有3個，故本小題正確；
（3）∵半圓的圓心角為180°，
∴圓心角是180°的扇形是一個半圓加一條直徑，
故本小題錯誤；
（4）①若AP是較長線段，則AP²=AB•BP，
即AP²=1×（1-AP），
AP²+AP-1=0，
解得AP=，
②若AP是較短的線段，則
AP=1-=，
故本小題錯誤．
綜上所述，正確的命題有（1）（2）共2個．
故選B．
點評：本題考查了黃金分割，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系，解直角三角形，作出圖形，利用數形結合的思想求解比較關鍵．