Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，頂點M關于x軸的對稱點是M′．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線AM′與此拋物線的另一個交點為C，求△CAB的面積；
（3）是否存在過A，B兩點的拋物線，其頂點P關于x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A、B點坐標代入函數解析式，得 ，

解得 ，

拋物線的解析式y=x2﹣2x﹣3

（2）解：將拋物線的解析式化為頂點式，得

y=（x﹣1）2﹣4，

M點的坐標為（1，﹣4），

M′點的坐標為（1，4），

設AM′的解析式為y=kx+b，

將A、M′點的坐標代入，得

，

解得 ，

AM′的解析式為y=2x+2，

聯立AM′與拋物線，得

，

解得 ，

C點坐標為（5，12）．

S△ABC= ×4×12=24

（3）解：存在過A，B兩點的拋物線，其頂點P關于x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形，

由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得

P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），

①當頂點P（1，﹣2）時，設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2﹣2，

將A點坐標代入函數解析式，得

a（﹣1﹣1）2﹣2=0，

解得a= ，

拋物線的解析式為y= （x﹣1）2﹣2，

②當P（1，2）時，設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+2，將

A點坐標代入函數解析式，得

a（﹣1﹣1）2+2=0，

解得a=﹣ ，

拋物線的解析式為y=﹣ （x﹣1）2+2，

綜上所述：y= （x﹣1）2﹣2或y=﹣ （x﹣1）2+2，使得四邊形APBQ為正方形．

【解析】（1）根據待定系數法，將A、B點坐標代入函數解析式，即可求解。
（2）先求出頂點坐標，根據軸對稱的性質，可求得點M′的坐標，再求出直線AM′的解析式，再將兩函數解析式聯立，建立方程組，求解即可求出點C的坐標，然后求出△ABC的面積。
（3）根據正方形的性質，求得P、Q兩點的坐標，根據待定系數法，可得函數解析式。
【考點精析】掌握確定一次函數的表達式和正方形的性質是解答本題的根本，需要知道確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．