Question

【題目】操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，將一塊等腰三角形板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點。圖①，②，③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況。研究：

（1）三角板ABC繞點P旋轉，觀察線段PD和PE之間有什么數量關系？并結合圖②加以證明。

（2）三角板ABC繞點P旋轉，△PBE是否能為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長）；若不能，請說明理由。（圖④不用）

Answer 1

【答案】（1）PD=PE；（2）CE=0或1．

【解析】

試題分析：連接PC，根據題意得出CP=PB，∠ACP=∠B=45°，∠DPC=∠BPE，從而得出△PCD和△PBE全等，從得出答案；第二題分PE=PB，PB=BE和PE=BE三種情況分別進行討論．

試題解析：（1）由圖①可猜想PD=PE，再在圖②中構造全等三角形來說明．即PD=PE．

理由如下：連接PC，因為△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中點，∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP= ∠ACB=45°．

∴∠ACP=∠B=45°．又∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，∴∠DPC=∠BPE．

∴△PCD≌△PBE． ∴PD=PE．

（2）△PBE是等腰三角形，

①當PE=PB時，此時點C與點E重合，CE=0；

②當PB=BE時，1）E在線段BC上， ，2）E在CB的延長線上，

③當PE=BE時，CE=1．