Question

【題目】如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CAB=2∠CBF．

（1）試判斷直線BF與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若AB=6，BF=8，求tan∠CBF．

Answer 1

【答案】（1）BF為⊙O的切線；理由詳見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接AE．通過AB⊥BF，點B在⊙O上可以推知BF為⊙O的切線；

（2）作輔助線CG（過點C作CG⊥BF于點G）構建平行線AB∥CG．由“平行線截線段成比例”知==，從而求得FG的值；然后根據圖形中相關線段間的和差關系求得直角三角形CBG的兩直角邊BG、CG的長度；最后由銳角三角函數的定義來求tan∠CBF的值．

試題解析：（1）BF為⊙O的切線．理由如下：

連接AE．

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°（直徑所對的圓周角是直角），

∴∠BAE+∠ABE=90°（直角三角形的兩個銳角互余）；

又∵AB=AC，AE⊥BC，

∴AE平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE；

∵∠CAB=2∠CBF，

∴∠BAE=∠CBF，

∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，即AB⊥BF，

∵OB是半徑，

∴BF為⊙O的切線；

（2）過點C作CG⊥BF于點G．

在Rt△ABF中，AB=6，BF=8，

∴AF=10（勾股定理）；

又∵AC=AB=6

∴CF=4；

∵CG⊥BF，AB⊥BF，

∴CG∥AB，

∴==，（平行線截線段成比例），

∴FG=，

由勾股定理得：CG==，

∴BG=BF﹣FG=8﹣=，

在Rt△BCG中，tan∠CBF==．