Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，長方形OACB的頂點A、B分別在x軸與y軸上，已知OA=3，OB=5，點D為y軸上一點，其坐標為（0，1），點P從點A出發以每秒1個單位的速度沿線段AC﹣CB的方向運動，當點P與點B重合時停止運動，運動時間為t秒．

（1）當點P經過點C時，求直線DP的函數解析式；
（2）①求△OPD的面積S關于t的函數解析式；
②當點D關于OP的對稱點落在x軸上時，求點P的坐標．
（3）點P在運動過程中是否存在使△BDP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設此時直線DP解析式為y=kx+b，

將D（0，1），C（3，5）代入得： ，

解得： ，

則此時直線DP解析式為y= x+1

（2）

解：①當點P在線段AC上時，OD=1，高為3，S= ；

當點P在線段BC上時，OD=1，高為3+5﹣t=8﹣t，S= ×1×（8﹣t）=﹣ t+4；

②當點D關于OP的對稱點落在x軸上時，D對稱點為（1，0），此時直線OP為y=x，

則此時點P的坐標是（3，3）

（3）

解：存在，理由為：

若△BDP為等腰三角形，分三種情況考慮：

①當BD=BP1=OB﹣OD=5﹣1=4，

在Rt△BCP1中，BD=4，BC=3，

根據勾股定理得：CP1= = ，

∴AP1=5﹣ ，即P1（3，5﹣ ）；

②當BP2=DP2時，此時P2（3，3）；

③當DB=DP3=4時，

在Rt△DEP3中，DE=3，

根據勾股定理得：P3E= = ，

∴AP3=AE+EP3= +1，即P3（3， +1），

綜上，滿足題意的P坐標為（3，3）或（3， +1）或（3，5﹣ ）．

【解析】（1）設直線DP解析式為y=kx+b，將D與B坐標代入求出k與b的值，即可確定出解析式；（2）①當P在AC段時，三角形ODP底OD與高為固定值，求出此時面積；當P在BC段時，底邊OD為固定值，表示出高，即可列出S與t的關系式；②當D關于OP的對稱點落在x軸上時，直線OP為y=x，求出此時P坐標即可；（3）存在，分別以BD，DP，BP為底邊三種情況考慮，利用勾股定理及圖形與坐標性質求出P坐標即可．
【考點精析】本題主要考查了一次函數的性質和一次函數的圖象和性質的相關知識點，需要掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小；一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠才能正確解答此題．