Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，點D是△ABC內一點，DB=DC，∠DCB=30°，點E是BD延長線上一點，AE=AB．

（1）求∠ADE的度數；

（2）求證：DE=AD+DC；

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，根據等腰三角形的性質和三角形的內角和定理可得∠ABC=∠ACB=75°，由DB=DC，∠DCB=30°，根據等腰三角形的性質再求得∠DBC=∠DCB=30°，即可得∠ABD=45°，易證AD所在直線垂直平分BC，根據等腰三角形的三線合一的性質可得AD平分∠BAC，即可求得∠BAD=15°，利用三角形外角的性質即可求得∠ADE=60°；（2）如圖1，在線段DE上截取DM=AD，連接AM，證明△ABD≌△AEM，根據全等三角形的對應邊相等和線段的和差即可證得結論.

試題解析：

（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，

∴∠ABC=∠ACB==75°，∵DB=DC，∠DCB=30°，∴∠DBC=∠DCB=30°，

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=45°，∵AB=AC，DB=DC，∴AD所在直線垂直平分BC，

∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=15°，∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°；

（2）如圖1，在線段DE上截取DM=AD，連接AM，

∵∠ADE=60°，DM=AD，

∴△ADM是等邊三角形，∴∠ADB=∠AME=120°

∵AE=AB，∴∠ABD=∠E，

在△ABD和△AEM中，

∠ADB=∠AME，∠ABD=∠E，AB=AE，

∴△ABD≌△AEM（AAS），

∴BD=ME，∵BD=CD，∴CD=ME，

∵DE=DM+ME，∴DE=AD+CD.