Question

【題目】直線是同一平面內的一組平行線．

(1)如圖1．正方形的4個頂點都在這些平行線上，若四條直線中相鄰兩條之間的距離都是1，其中點，點分別在直線和上，求正方形的面積；

(2)如圖2，正方形的4個頂點分別在四條平行線上，若四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為．

①求證：；

②設正方形的面積為，求證．

Answer 1

【答案】（1）9或5；（2）①見解析，②見解析

【解析】

（1）分兩種情況：①如圖1-1，得出正方形ABCD的邊長為3，求出正方形ABCD的面積為9；

②如圖1-2，過點B作EF⊥l1于E，交l4于F，則EF⊥l4，證明△ABE≌△BCF（AAS），得出AE=BF=2由勾股定理求出AB=，即可得出答案；

（2）①過點B作EF⊥l1于E，交l4于F，作DM⊥l4于M，證明△ABE≌△BCF（AAS），得出AE=BF，同理△CDM≌△BCF（AAS），得出△ABE≌△CDM（AAS），得出BE=DM即可；

②由①得出AE=BF=h2+h3=h2+h1，得出正方形ABCD的面積S=AB2=AE2+BE2，即可得到答案.

解：（1）①如圖，當點分別在上時，面積為：；

②如圖，當點分別在上時，過點B作EF⊥l1于E，交l4于F，則EF⊥l4，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，

∵∠CBF+∠BCF=90°，

∴∠ABE=∠BCF，

在△ABE和△BCF中

，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE=BF=2，

∴AB=，

∴正方形ABCD的面積=AB2=5；

綜上所述，正方形ABCD的面積為9或5；

（2）①證明：過點B作EF⊥l1于E，交l4于F，作DM⊥l4于M，如圖所示：則EF⊥l4，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，

∵∠CBF+∠BCF=90°，

∴∠ABE=∠BCF，

在△ABE和△BCF中，

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE=BF，

同理△CDM≌△BCF（AAS），

∴△ABE≌△CDM（AAS），

∴BE=DM，

即h1=h3．

②解：由①得：AE=BF=h2+h3=h2+h1，

∵正方形ABCD的面積：S=AB2=AE2+BE2，

∴S=（h2+h1）2+h12=2h12+2h1h2+h22．