Question

已知，如圖在△ABC中，AB=AC，點D是AC的中點，直線AE∥BC，過D點作直線EF∥AB分別交AE、BC于點E、F，求證：四邊形AECF是矩形．

Answer 1

分析：根據中點定義求出DA=DC，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AED=∠CFD，然后利用“角角邊”證明△ADE和△CDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=CF，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形AECF是平行四邊形，再判斷出四邊形ABFE是平行四邊形，根據平行四邊形對邊相等可得AB=EF，然后求出AC=EF，然后根據對角線相等的平行四邊形是矩形證明即可．

解答：證明：∵點D是AC的中點，
∴DA=DC，
∵AE∥BC，
∴∠AED=∠CFD，
在△ADE和△CDF中，

∠AED=∠CFD ∠ADE=∠CDF DA=DC

，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
又∵AE∥BC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AE∥BC，EF∥AB，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴AB=EF，
∵AB=AC，
∴AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形．

點評：本題考查了矩形的判定，主要利用了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，對角線相等的平行四邊形是矩形的判定方法．