Question

【題目】如圖，，是射線上一點，以為圓心，的長為半徑作，使，是上一點，與相交于點，點與關于直線對稱，連接．

嘗試： （1）點在所在的圓 （填“內”“上”或“外”）；

（2） ．

發現 ：（1）的最大值為 ；

（2）當，時，判斷與所在圓的位置關系．

探究：當點與的距離最大時，求的長．（注：）

Answer 1

【答案】嘗試：（1）上；（2）3；發現：（1）3；（2）相切，理由見解析；探究：

【解析】

嘗試：（1）根據題意即可得到結論；
（2）如圖1，延長AO交所在圓上的點E，連接BE，根據等腰三角形的性質得到∠BAO=∠ABO=14°，根據三角函數的定義即可得到結論；
發現：（1）在Rt△AOD中解直角三角形即可得到結論；
（2）根據弧長公式求得∠BOP=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；
探究：作P′E⊥AB于點E，連接P′A，如圖2，此時OE⊥AB，求得，根據勾股定理得到，，根據軸對稱的性質即可得到AP=AP′=2．

嘗試 （1）點P′在所在的圓上，
故答案為：上；
（2）如圖1，延長AO交所在圓上的點E，
連接BE，
則∠ABE=90°，
∵∠AOB=152°，OB=OA，
∴∠BAO=∠ABO=14°，
∵OA=4，
∴AE=2OA=8，
∴AB=AEcos14°=8×=2，
故答案為：2；

發現 （1）當OP⊥AB時，PD有最大值，
在Rt△AOD中，∵OA=4，cos∠OAD= ，

∴AD=，
∴OD==1，
∴PD=4-1=3，
∴PD的最大值為3，
故答案為：3；

（2）相切．

理由如下：

當時，．

解得，即．

∵．

∴．

又，∴，

∵是半徑，

∴與所在的圓相切．

探究 作于點．

∵點在所在的圓上，∴當過圓心時，最大．

連接，如圖2．

此時．

．

∵，

∴．

∵，∴．

∴．

又點，關于直線對稱，

∴．