Question

【題目】如圖：AD與⊙O相切于點D，AF經過圓心與圓交于點E、F，連接DE、DF，且EF=6，AD=4．

（1）證明：AD2=AEAF；

（2）延長AD到點B，使DB=AD，直徑EF上有一動點C，連接CB交DF于點G，連接EG，設∠ACB=α，BG=x，EG=y．

①當α=900時，探索EG與BD的大小關系？并說明理由；

②當α=1200時，求y與x的關系式，并用x的代數式表示y．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①當α=90°時，EG＞BD，理由見解析；②當α=120°時，y= ．

【解析】試題分析：（1）連接OD，由AD是⊙O的切線，根據切線的性質可得OD⊥AD，即∠ADE+∠EDO=90°，再由EF是直徑，根據圓周角定理的推論可得∠EDF=90°，即∠EDO+∠ODF=90°，即可得∠ADE=∠ODF，再由OD=OF，根據等腰三角形的性質可得∠ODF=∠OFD，所以∠ADE=∠OFD，即可判定△ADE∽△AFD，根據相似三角形的性質可得 ，即AD2=AEAF；（2）①當α=90°時，EG＞BD，理由如下：取EG的中點H，連接CH、DH、CD，在Rt△EDG、Rt△ECG中，點H為EG的中點，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得CH=EH=GH=DH= EG，根據圓的定義即可判定點C、E、D、G在以點H為圓心，EG為直徑的圓上，根據直徑是圓中最長的弦可得EG＞CD，在Rt△ABC中，DB=AD，再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得CD= DB=AD=AB，即可得結論EG＞BD；②當α=120°時，將△ADE繞著點D旋轉180°，得到△BDP，連接GP，由（1）AD2=AEAF可得16=AE(AE+6)，解得AE=2或AE=－8（舍去），因△ADE≌△BDP，根據全等三角形的性質可得ED=DP，AE=BP=2，∠A=∠DBP，再由∠EDF=90°可得DG垂直平分EP，根據線段垂直平分線的性質可得GE=GP=y，因∠A+∠ABC=180°－120°=60°所以∠DBP+∠ABC=60°，即∠GBP=60°；過點P作PQ⊥BG，在Rt△BPQ中，∠GBP=60°，BP=2，可求得BQ=1，PQ= ，所以GQ=BG－BQ=x－1，在Rt△GPQ中, PQ=，GQ=x－1，GP=y，由勾股定理可得PG2=GQ2+PQ2，即y2=(x-1) 2+( ) 2 ，整理即可得y= .

試題解析：

（1）證明：連接OD

∵AD是⊙O的切線

∴OD⊥AD，即∠ADE+∠EDO=90°

∵EF是直徑

∴∠EDF=90°，即∠EDO+∠ODF=90°

∴∠ADE=∠ODF

∵OD=OF

∴∠ODF=∠OFD

∴∠ADE=∠OFD

∴△ADE∽△AFD

∴，即

（2）①當時，EG＞BD

理由如下：取EG的中點H，連接CH、DH、CD,

∵Rt△EDG、Rt△ECG,點H為EG的中點

∴CH=EH=GH=DH=

∴點C、E、D、G在以點H為圓心，EG為直徑的圓上

∴EG＞CD

∵Rt△ABC, DB=AD

∴CD= DB=AD=

∴EG＞BD

②當時

將△ADE繞著點D旋轉180°，得到△BDP,連接GP

由（1）得： ，解得AE=2或AE=－8（舍去）

∴△ADE≌△BDP

∴ED=DP，AE=BP=2，∠A=∠DBP

∵∠EDF=90°

∴DG垂直平分EP

∴GE=GP=

∵∠A+∠ABC=180°－120°=60°

∴∠DBP+∠ABC=60°，即∠GBP=60°

過點P作PQ⊥BG

在Rt△BPQ中，∠GBP=60°，BP=2

∴BQ=1，PQ=

∴GQ=BG－BQ= －1

在Rt△GPQ中, PQ=，GQ= －1，GP=

∴

即