Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于和，與軸交于點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）繞點旋轉的直線：與軸相交于點，與拋物線相交于點，且滿足時，求直線的解析式；

（3）點為拋物線上的一點，點為拋物線對稱軸上的一點，是否存在以點，，，為頂點的平行四邊形，若存在，請直接寫出點的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：；（2）直線的解析式為或；（3）存在，符合題意的點有3個：，，

【解析】

（1把和代入中得到一個關于a,b的二元一次方程組，把這個方程組解出來即可；

（2）分兩種情況討論進行計算即可；

（3）分三種情況討論，利用平行四邊形的性質列方程求解即可.

解：（1）∵拋物線經過點，點，

∴解得：

∴拋物線的解析式為：

（2）①如圖1，當點、在點的異側時，過點作軸于點

∴

∵

∴，

∴

∵

∴

∴

∴

∴點與點的橫坐標為

∴點的縱坐標為

∴點的坐標為

∵直線：過點和點

∴解得：

∴直線的解析式為

②如圖2，當點、在點的同側時，過點作軸于點

∴

∵

∴，

∴

∵

∴

∴

∴

∴點與點的橫坐標為

∴點的縱坐標為

∴點的坐標為

∵直線：過點和點

∴解得：

∴直線的解析式為

綜上所述：直線的解析式為或．

（3）存在，符合題意的點有3個它們分別是：，，.

設P的坐標為P(x, ),點Q的坐標為（2，y）

當BP∥CQ時，則,解得x=1，

∴=

∴.

當BP∥QC時，則,解得x=5，

∴=

∴，

③當BC∥PQ時，則 ，解得x=-1，

∴=

∴.

綜上所述，點有3個它們分別是：，，.

【點晴】

本題考查了二次函數的綜合應用，合理利用數形結合和分類討論是解題的關鍵.