Question

【題目】如圖，已知AB∥CD，CE，BE的交點為E，現作如下操作：

第一次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線，交點為E1，

第二次操作，分別作∠ABE1和∠DCE1的平分線，交點為E2，

第三次操作，分別作∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3……

第n次操作，分別作∠ABEn－1和∠DCEn－1的平分線，交點為En.

(1)如圖①，求證：∠E＝∠B＋∠C；

(2)如圖②，求證：∠E1＝∠E；

(3)猜想：若∠En＝b°，求∠BEC的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）∠BEC＝2nb°.

【解析】試題分析：（1）先過E作EF∥AB，根據AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根據平行線的性質，得出∠B=∠1，∠C=∠2，進而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）先根據∠ABE和∠DCE的平分線交點為E1，運用（1）中的結論，得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；

（3）根據∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，得出∠BE3C=∠BEC；…據此得到規律∠En=∠BEC，最后求得∠BEC的度數．

試題解析：（1）如圖①，過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠B=∠1，∠C=∠2，

∵∠BEC=∠1+∠2，

∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如圖2，∵∠ABE和∠DCE的平分線交點為E1，

∴由（1）可得，

∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；

∵∠ABE1和∠DCE1的平分線交點為E2，

∴由（1）可得，

∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；

（3）如圖2，∵∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，

∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；

…

以此類推，∠En=∠BEC，

∴當∠En=α度時，∠BEC等于2nα度．