Question

【題目】如圖1，正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，H為CD邊上一點，連接BH交AC于K；E為BH上一點，連接AE交BD于F．

（1）若AE⊥BH于E，且CK＝，AD＝6，求AF的長；

（2）如圖2，若AB＝BE，且∠BEO＝∠EAO，求證：AE＝2OE．

Answer 1

【答案】（1）AF的長為；（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據正方形的性質及AE⊥BH于E，及對頂角相等等條件證得△BOK≌△AOF，故OK＝OF，再利用已知線段的長和勾股定理，即可求得AF．

（2）過O作OM⊥OE，交AE于點M，連接BM，先證△OME為等腰直角三角形，再證BM⊥AE，然后利用等腰三角形的三線合一性質求得AM＝ME，最后利用ME＝OE及AE和ME的數量關系．即可證明．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形

∴AC＝BD，AC⊥BD

∴AO＝BO，∠AOB＝∠BOC＝90°

∵AE⊥BH

∴∠AEB＝90°

∵∠AFO＝∠BFE

∴∠OAF＝∠OBK

∴△BOK≌△AOF

∴OK＝OF

∵AD＝6

∴AC＝AD＝6，AO＝CO＝3

∴OK＝OF＝CO﹣CK＝2

∴AF＝＝．

∴AF的長為．

（2）證明：過O作OM⊥OE，交AE于點M，連接BM

∵AB＝BE

∴∠BAM＝∠BEA

∵∠EAO＝∠BEO

∴∠BAO＝∠MEO＝45°

∴△OME為等腰直角三角形

∴OE＝OM

∵∠AOB＝∠MOE＝90°

∴∠BOM＝∠AOE

又∵OM＝OE，AO＝BO

∴△BOM≌△AOE

∴∠AEO＝∠BMO＝45°

∴∠BME＝∠BMO＋∠OME＝∠AEO＋∠OME＝90°

∴BM⊥AE

∵AB＝BE

∴AM＝ME

∵ME＝OE

∴AE＝2OE．