Question

【題目】如圖，直線y＝kx﹣2與x軸，y軸分別交于B，C兩點，其中OB＝1．

（1）求k的值；

（2）若點A（x，y）是第一象限內的直線y＝kx﹣2上的一個動點，當點A運動過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，探索：

①當點A運動到什么位置時，△AOB的面積是1；

②在①成立的情況下，x軸上是否存在一點P，使△POA是等腰三角形？若存在，請寫出滿足條件的所有P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）S＝x﹣1，（3）①OA＝2，②所有P點的坐標為P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（4，0），P4（2，0）．

【解析】

（1）先確定出點B的坐標，代入函數解析式中即可求出k；

（2）借助（1）得出的函數關系式，利用三角形的面積公式即可求出函數關系式；

（3）①利用三角形的面積求出求出點A坐標；

②設出點P（m，0），表示出AP，OP，計算出OA，分三種情況討論計算即可得出點P坐標．

解：（1）∵OB＝1，

∴B（1，0），

∵點B在直線y＝kx﹣2上，

∴k﹣2＝0，

∴k＝2

（2）由（1）知，k＝2，

∴直線BC解析式為y＝2x﹣2，

∵點A（x，y）是第一象限內的直線y＝2x﹣2上的一個動點，

∴y＝2x﹣2（x＞1），

∴S＝S△AOB＝×OB×|yA|＝×1×|2x﹣2|＝x﹣1，

（3）①如圖，

由（2）知，S＝x﹣1，

∵△AOB的面積是1；

∴x＝2，

∴A（2，2），

∴OA＝2，

②設點P（m，0），

∵A（2，2），

∴OP＝|m|，AP＝，

①當OA＝OP時，∴2＝|m|，∴m＝±2，∴P1（﹣2，0），P2（2，0），

②當OA＝AP時，∴2＝，∴m＝0或m＝4，∴P3（4，0），

③當OP＝AP時，∴|m|＝，∴m＝2，∴P4（2，0），

即：滿足條件的所有P點的坐標為P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（4，0），P4（2，0）．