Question

盼盼同學在學習正多邊形時，發現了以下一組有趣的結論：

①若P是圓內接正三角形ABC的外接圓的上一點，則PB+PC=PA；
②若P是圓內接正四邊形ABCD的外接圓的上一點，則；
③若P是圓內接正五邊形ABCDE的外接圓的上一點，請問PB+PE與PA有怎樣的數量關系，寫出結論，并加以證明；
④若P是圓內接正n邊形A₁A₂A₃…A_n的外接圓的上一點，請問PA₂+PA_n與PA₁又有怎樣的數量關系，寫出結論，不要求證明．

Answer 1

解：
③PB+PE與PA滿足的數量關系是：PB+PE=2PA•cos36°；
理由如下：作AM⊥PB于M，AN⊥PE于N，
∵∠APM=∠APN
∴Rt△AMP≌Rt△ANP，
∴AM=AN，PM=PE；
∵AB=AE，
∴Rt△AMB≌Rt△ANE，
∴MB=NE∴PB+PE=（PM-MB）+（PN+NE）=2PN；
∵，且ABCDE為正五邊形，
∴，
∴∠APE=36°；
在Rt△ANP中，，
∴PN=PA•cos36°，
∴PB+PE=2PA•cos36°．

④若P是圓內接正n邊形A₁A₂A₃…A_n的外接圓的上一點時，PA₂+PA_n與PA₁滿足的數量關系是：．

分析：PB+PC=PA，可以在PA上截取一條線段等于PB，然后證明剩下的部分等于PC即可，其它三問的解決思路相同．
點評：正多邊形的計算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑，邊長，邊心距，中心角之間的計算轉化為解直角三角形．