Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線y=a經(jīng)過點(diǎn)A、B、C且點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，2)．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）點(diǎn)H在線段AC上，若OH最短時，在x軸上找一點(diǎn)N，使△CHN周長最小時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)

（4）P是拋物線上一動點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）D(2,1)

（3）(，0)

（4）存在滿足條件的點(diǎn)P，坐標(biāo)為(0，-2)或(2，1)或(5，-2)或(-3，-14).

【解析】

（1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）可以表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，過D做DEy軸，交直線AC與點(diǎn)E，表示出DE的長，進(jìn)一步表示出△DCA的面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；

（3）根據(jù)垂線段最短確定點(diǎn)H位置，結(jié)合相似或三角函數(shù)，利用將軍飲馬模型，確定點(diǎn)N的位置，并求出其坐標(biāo)；

（4）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出PM和AM的長，由三角形相似的性質(zhì)可以得到關(guān)于點(diǎn)P的坐標(biāo)的方程，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：（1）由圖像得拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)、B(1,0)、C (0，2)，把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得：，解得，

∴拋物線解析式為：

（2）∵D在直線AC上方的拋物線上，

∴設(shè)D坐標(biāo)為()（0＜t＜4），

如圖，過D作DEy軸，交直線AC與點(diǎn)E，

則點(diǎn)E坐標(biāo)為()，

∴

∴

∵-1＜0，

∴當(dāng)t=2時，S△DCA有最大值4，此時D坐標(biāo)為(2,1);

（3）如圖，∵H在AC上，且OH最短，

∴OH為點(diǎn)O到AC的垂線段.

作OH⊥AC垂足為H，作OH⊥y軸，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為G，連接HG，交x軸與點(diǎn)N，此時，△CHN周長最小.

∵△CHF∽△CAO，

∴

∵△CHF∽△CHO，

∴

∴

∴，，

∵點(diǎn)G與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，

∴OG=2

∵△GON∽△GFH，

∴

即：，解得ON=

∴點(diǎn)N坐標(biāo)為(，0);

（4）如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為()，則M坐標(biāo)為()，

∴，

∵A(4,0)、C (0，2)，

∴OA=4，OC=2

∵PM⊥x軸，

∴∠PMA=∠COA=90°

∴當(dāng)△PAM和△CAO相似時，有兩種情況.

①當(dāng)時，，

解得：m=4或m=2,或m=0，

當(dāng)m=4時，點(diǎn)P在x軸上，不合題意，舍去，

當(dāng)m=0時，點(diǎn)P(0，-2)，

當(dāng)m=2是，點(diǎn)P(2，1)；

②當(dāng)時，，

解得：m=4或m=5,或m=-3，

當(dāng)m=5時，點(diǎn)P(5，-2)，

當(dāng)m=-3時，點(diǎn)P(-3，-14)，

綜上所述：存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為(0，-2)或(2，1)或(5，-2)或(-3，-14).