Question

【題目】如圖，在直角三角形中，，點從開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動． 分別從同時出發，當一個動點到達終點則另一動點也隨之停止運動，

（1）求為何值時，為等腰三角形？

（2）是否存在某一時刻，使點在線段的垂直平分線上？

（3）點在運動的過程中，是否存在某時刻， 直線把的周長分為兩部分？若存在，求出，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）存在，；（3）存在，或

【解析】

（1）根據題意用t表示出BP、BQ，根據等腰三角形的概念列方程，解方程得到答案；

（2）根據線段垂直平分線的性質得到QA=QC，列方程，解方程即可；

（3）分AC+AP+CQ=2（BP+BQ）、2（AC+AP+CQ）=BP+BQ兩種情況計算，得到答案．

由題意得，

則

當為等腰三角形時，

只有

解得，

當點在線段的垂直平分線上時，連接QA，

設

則

解得，即

（秒）

在中，

當直線把的周長分為兩部分時，

①當時，

解得，

②當時，

解得，

當或時，直線把的周長分為兩部分.