Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點E旋轉180°得到△CFE．

（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形．

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是正方形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當∠ACB=90°，AC=BC時，四邊形ADCF是正方形

【解析】

(1)利用旋轉的性質得出點A、E、C三點共線,點D、E、F三點共線,且AE＝CE,DE＝FE,即可得出答案;
(2)首先得出CD⊥AB，即∠ADC＝90°,由(1)知,四邊形ADCF是平行四邊形,故四邊形ADCF是矩形.進而求出CD＝AD即可得出答案.

（1）證明：∵△CFE是由△ADE繞點E旋轉180°得到，

∴點A、E、C三點共線，點D、E、F三點共線，

且AE＝CE，DE＝FE，

故四邊形ADCF是平行四邊形．

（2）當∠ACB＝90°，AC＝BC時，四邊形ADCF是正方形．

理由如下：在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，

∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°．

而由（1）知，四邊形ADCF是平行四邊形，

∴四邊形ADCF是矩形．

又∵∠ACB＝90°，

∴，

故四邊形ADCF是正方形．