Question

【題目】設等邊三角形的內切圓半徑為外接圓半徑為，平面內任意一點到等邊三角形中心的距離為若滿足則稱點叫做等邊三角形的中心關聯點．在平面直角坐標系中，等邊的三個頂點的坐標分別為．

（1）①等邊中心的坐標為 ；

②已知點在中，是等邊的中心關聯點的是 ；

（2）如圖1，過點作直線交軸正半軸于使．

　　

①若線段上存在等邊的中心關聯點求的取值范圍；

②將直線向下平移得到直線當滿足什么條件時，直線上總存在等邊的中心關聯點；

（3）如圖2，點為直線上一動點，的半徑為當從點出發，以每秒個單位的速度向右移動，運動時間為秒．是否存在某一時刻使得上所有點都是等邊的中心關聯點？如果存在，請直接寫出所有符合題意的的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）①，②滿足條件的的值為；（3）存在. 或．

【解析】

（1）①求出OA＝OB＝OC＝2，即可得等邊中心的坐標；

②分別求出OD，OE，OF，然后根據中心關聯點的定義判斷；

（2）①易得直線的解析式，判斷出點在直線AM上，根據點P在AE上時，可得此時點P都是等邊△ABC的中心關聯點；

②如圖1-2中，設平移后的直線交軸于點，過點作這條直線的垂線，垂足為，求出時OG的長，即可得到b的取值范圍；

（3）如圖2中，設Q（s，1），由題意得當OQ＝時，⊙Q上所有點都是等邊△ABC的中心關聯點，求出s即可得解．

解：（1）①∵，

∴OA＝2，OB＝，OC＝，

∴等邊中心的坐標為；

②由題意得：，點是的中心，

，

點是的中心關聯點；

（2）①如圖1-1中，

∵OA＝2，，

∴OM＝，

易得直線的解析式為：，

∴在直線上，

因為，

所以為等邊三角形，

所以邊上的高長為，

當點在上時，，

所以當點在上時，點都是等邊的中心關聯點，

所以；

如圖1-2中，設平移后的直線交軸于點過點作這條直線的垂線，垂足為，

當時，在中，，

，

，

滿足條件的的值為；

存在，

理由：如圖2中，設，

由題意得，當時，上所有點都是等邊的中心關聯點，

∴，

解得：，

或．