Question

【題目】將矩形繞點順時針旋轉得到矩形，點的對應點分別為

（1）當點落在上時

①如圖1，若，求證：

②如圖2，交于點．若，求證：；

（2）若，

①如圖3，當過點C時，則的長=_____．

②當時，作，繞點轉動，當直線經過時，直線交邊于，的值=______．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）①，②

【解析】

（1）①首先證明△A1B是等邊三角形，可得∠AA1B＝∠A1BD1＝60°，即可解決問題．
②首先證明Rt△BCD1≌RtD1A1B（HL），得到四邊形ABD1C是平行四邊形，推出OC＝OB，再證明△DCO≌△ABO（SAS）即可解決問題．
（2）①如圖3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．利用勾股定理求出AE，A1E即可解決問題；

②分兩種情況，當△A1BE旋轉到圖4位置時以及當△A1BE旋轉到圖5位置時，分別證明△DAN∽△BEN即利用相似比得到．

（1）證明：①∵∠CAB＝60°，

由旋轉可知，BA＝BA1，
∴△ABA1是等邊三角形，
∴∠AA1B＝60°，
∵∠A1BD1＝∠CAB =60°，
∴∠AA1B＝∠A1BD1，
；

②如圖2中，連接BD1，BD，DD1．

由旋轉可知：BA＝BA1，BD＝BD1，∠ABA1＝∠DBD1，
∴∠BAA1＝∠BDD1，
∵在矩形ABCD中，∠BAA1=∠ABD＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠BDD1，
∴D，C，D1共線，
∵∠BCD1＝∠BA1D1＝90°，

∴在中Rt△BCD1與RtD1A1B中

BD1＝D1B，BC＝A1D1，
∴Rt△BCD1≌RtD1A1B（HL），
∴CD1＝BA1，
∵BA＝BA1，
∴AB＝CD1，

∵AC＝BD1
∴四邊形ABD1C是平行四邊形，
∴OC＝OB
∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO=90°，
∴△DCO≌△ABO（SAS），
∴DO＝OA．

（2）①如圖3中，作A1P⊥AB于P，A1Q⊥BC于Q．

在Rt△A1BC中，∵∠CA1B＝90°，BC＝15．A1B=CD＝9，
∴CA1＝，
∵，
∴A1Q＝，

∵∠A1QB＝∠A1PB＝∠PBQ＝90°，
∴四邊形A1PBQ是矩形，
∴PB＝A1Q＝，A1P＝BQ＝，
∴AP＝9=，
在Rt△AA1E中，AA1＝，

故答案為：

②當△A1BE旋轉到圖4位置時，直線A1E經過點D，

由旋轉可知，A1B=AB=9，

∵∠A1BE=45°，∠A1EB=90°，

∴BE=A1E=，

∵∠A1EB=∠DAN=90°，∠AND=∠ENB，

∴△AND∽△ENB，

∴，

當△A1BE旋轉到圖5位置時，直線A1E經過點D，

由旋轉可知，A1B=AB=9，

∵∠A1BE=45°，∠A1EB=90°，

∴BE=A1E=，

∵∠DAN=∠BEN=90°，∠AND=∠ENB，

∴△DAN∽△BEN，

∴，

綜上所述，，

故答案為：．