Question

【題目】如圖，是的直徑，是上半圓的弦，過點作的切線交的延長線于點，過點作切線的垂線，垂足為，且與交于點，設，的度數分別是.

用含的代數式表示，并直接寫出的取值范圍；

連接與交于點，當點是的中點時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）β=90°－2α（0°＜α＜45°）；（2）α=β=30°

【解析】

（1）首先證明 ，在 中，根據兩銳角互余，可知 ；

（2）連接OF交AC于O′，連接CF，只要證明四邊形AFCO是菱形，推出 是等邊三角形即可解決問題．

解：（1）連接OC．

∵DE是⊙O的切線，

∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠DAE=2α，

∵∠D=90°，

∴∠DAE+∠E=90°，

∴2α+β=90°

∴β=90°－2α（0°＜α＜45°）．

（2）連接OF交AC于O′，連接CF．

∵AO′=CO′，

∴AC⊥OF，

∴FA=FC，

∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，

∴CF∥OA，

∵AF∥OC，

∴四邊形AFCO是平行四邊形，

∵OA=OC，

∴四邊形AFCO是菱形，

∴AF=AO=OF，

∴△AOF是等邊三角形，

∴∠FAO=2α=60°，

∴α=30°，

∵2α+β=90°，

∴β=30°，

∴α=β=30°．