Question

如圖，已知拋物線y=

3

4

x2+bx+c與坐標軸交于A，B，C三點，點A的橫坐標為-1，過點C的直線y=

3

4t

x-3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH⊥OB于點H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）確定b，c的值；
（2）求線段QH的長度（用含t的式子表示）；
（3）依點P的變化，是否存在t的值，使△COQ與△QPH相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據直線CQ的解析式可求出C點的坐標，然后將A、C坐標代入拋物線中即可求出b、c的值．
（2）根據（1）得出的拋物線可求出B點的坐標，即可得出∠PBH的三角函數值（通過相似三角形△BHP，△BOC來求也行）．已知了BP的坐標，即可根據∠PBH的三角函數求出BH、PH的長，可根據直線CQ的解析式求出OQ的長，那么由QH=OH-OQ或QH=OQ-OH（當H在OQ之間時）即可得出QH的表達式．
（3）本題要分情況進行討論：
①當Q在OH之間時，此時QH=OH-OQ，可分△OQC∽△HPQ和△OQC∽△HQP兩種情況來求，可根據各自的對應成比例線段求出t的值．
②當Q在BH之間時，此時QH=OQ-OH，PH∥OC，只有△QHP∽△QOC一種情況，可根據對應成比例線段求出t的值．

解答：解：（1）c=-3
將（-1，0）和c=-3代入y=

3

4

x2+bx+c，
得b=-

9

4

．

（2）設P坐標為（x，y），由y=

3

4

x2-

9

4

x-3，
可求得A（-1，0），B（4，0）．
由y=

3

4t

x-3，
可求得Q（4t，0）．
由題意可證△BHP∽△BOC，
OB：OC：BC=4：3：5即BH：HP：BP=4：3：5，
BP=5t，則BH=4t=4-x，OH=x=4-4t
而QH=OH-OQ或QH=OQ-OH（當H在OQ之間時）
又因為OQ=4t，BH=4t
所以，QH=4-4t-4t或QH=4t-（4-4t）
即QH=4-8t或8t-4
即QH=|4-8t|．

（3）存在這樣的t的值使△COQ與△QPH相似，
當QH=OH-OQ=4-8t時，PH=3t，OQ=4t，OC=3，QH=4-8t，
若相似，則QH：OC=3：4，
所以t=

7

32

，
當QH=OQ-OH=8t-4時，PH=3t，OQ=4t，OC=3，QH=8t-4，
若相似，則QH：OC=3：4，
所以t=

25

32

，
當QH=OH-OQ=4-8t時，OQ：QH=OC：PH，
得

4t

4-8t

=

3

3t

，t²+2t-1=0
所以t1=

2

-1，t2=-

2

-1（舍去）
綜上，存在t的值，t的值為

7

32

或

25

32

或

2

-1．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定以及相似三角形的判定和性質等知識點．
要注意的是（3）中要根據Q的位置和不同的對應相似三角形來分類求解．不要漏解．