Question

已知：如圖，正比例函數y=k₁x的圖象與反比例函數y=

k2

x

的圖象相交于點A、B，點A 在第一象限，且點A 的橫坐標為1，作AH垂直于x軸，垂足為點H，S_△AOH=1．
（1）求AH的長；
（2）求這兩個函數的解析式；
（3）如果△OAC是以OA為腰的等腰三角形，且點C在x軸上，求點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據點A的橫坐標可得出OH的長度，從而結合△AOH的面積可得出AH的長度；
（2）根據AH的長度，可得出點A的坐標，將點A的坐標代入正比例函數及反比例函數解析式，可得出兩個函數的解析式；
（3）分兩種情況討論，①OA=OC，②OA=AC，分別求出點C的坐標即可．

解答：解：（1）∵點A的橫坐標為1，AH⊥x軸，
∴OH=1，
∵S_△AOH=1，
∴

1

2

OH×AH=1，
解得：AH=2．

（2）∵OH=1，AH=2，
∴點A的坐標為A（1，2），
∵點A（1，2）在正比例函數y=k₁x的圖象上，
∴2=k₁•1，
解得：k₁=2．
∴所求的正比例函數的解析式為y=2x，
∵點A（1，2）在反比例函數y=

k2

x

的圖象上，
∴2=

k2

1

，
解得k₂=2．
∴所求的反比例函數的解析式為y=

2

x

．

（3）由題意，設點C的坐標為（a，0）．
∵△OAC是以OA為腰的等腰三角形，
∴OA=OC或OA=AC，
①當OA=OC時，a=±

5

，
即可得：點C的坐標為（

5

，0）或（-

5

，0）．
②當OA=AC時，a=2；a=0，
∵點C與點O不重合，
∴a=0不合題意舍去，
∴點C的坐標為（2，0），
綜上所述：點C的坐標為（

5

，0）或（-

5

，0）或（2，0）．

點評：本題屬于反比例函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式等腰三角形的性質，綜合性較強，難點在第三問，注意分類討論，不要漏解．