Question

【題目】如圖，為半⊙O的直徑，，是半圓上的三等分點，，與半⊙O相切于點，點為上一動點（不與點，重合），直線交于點，于點，延長交于點，則下列結論正確的是______________．（寫出所有正確結論的序號）

①；②的長為；③；④；⑤為定值．

Answer 1

【答案】②⑤

【解析】

①先根據圓的切線的性質可得，再根據半圓上的三等分點可得，然后根據圓周角定理可得，最后假設，根據角的和差、三角形的外角性質可得，這與點為上一動點相矛盾，由此即可得；

②根據弧長公式即可得；

③先根據等邊三角形的性質可得，再根據角的和差即可得；

④先根據三角形的外角性質可得，從而可得對應角與不可能相等，由此即可得；⑤先根據相似三角形的判定與性質可得，從而可得，再根據等邊三角形的性質可得，由此即可得．

如圖，連接OP

與半⊙O相切于點

是半圓上的三等分點

是等邊三角形

由圓周角定理得：

假設，則

又點為上一動點

不是一個定值，與相矛盾

即PB與PD不一定相等，結論①錯誤

則的長為，結論②正確

是等邊三角形，

，則結論③錯誤

，即對應角與不可能相等

與不相似，則結論④錯誤

在和中，

，即

又是等邊三角形，

即為定值，結論⑤正確

綜上，結論正確的是②⑤

故答案為：②⑤．