Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，點的坐標是，拋物線經過原點和點，已知正方形的三個頂點為，，．

（1）若當時，求，，并寫出拋物線對稱軸及的最大值；

（2）求證：拋物線的頂點在函數的圖象上；

（3）若拋物線與直線交于點，求為何值時，的面積為1；

（4）若拋物線經過正方形區域（含邊界），請直接寫出的取值范圍．

（參考公式：的頂點坐標是．

Answer 1

【答案】（1），，對稱軸為直線，y最大值為4；（2）見解析；（3）當n的值為或1時，的面積為1；（4）

【解析】

（1）解：當時，則，

∵拋物線的經過原點O和點P，

∴，解得，

∴拋物線解析式為，

∴拋物線的對稱軸為直線，

∵，

∴當時，y有最大值為4；

（2）證明：把O、P的坐標代入拋物線解析式可得，

解得，

∴拋物線解析式為，

∴拋物線頂點坐標為，

在中，當時，，

∴拋物線的頂點在函數的圖象上；

（3）解：在中，當時，，

∴點N的坐標為，

∴N到x軸的距離為，

∵，

∴，

∴，

當的面積為1時，則有，

當時，N、P重合，不成立，

當時，則，

解得或 （此時n小于2，舍去），

當時，則，解得，

綜上可知，當n的值為或1時，的面積為1；

（4）解：.

【解法提示】∵拋物線解析式為，

∴當過點時，代入可得，解得，

同理，當拋物線過點B時可求得，

當拋物線過點C時可求得，

當拋物線過點D時可求得，

∴n的取值范圍為.