Question

如圖，在5×5的方格紙中，每一個小正方形的邊長為1．
（1）∠BCD是不是直角？請說明理由（可以適當添加字母）
（2）求出四邊形ABCD的面積；
（3）連接BD，求△ABD邊AD上的高．

Answer 1

分析：（1）連接BD，由于每一個小正方形的邊長都為1，根據勾股定理可分別求出△BCD的三邊長，根據勾股定理的逆定理即可判斷出△BCD的形狀．
（2）S_{四邊形ABCD}=S_{正方形AHEJ}-S_△BCE-S_△ABH-S_△ADI-S_△DCF-S_{正方形DFJI}；
（3）S_△ABD=S_{四邊形ABCD}-S_△BCD．

解答：解：（1）∵BC²=CE²+BE²=2²+4²=20，CD²=CF²+DF²=1²+2²=5，BD²=GD²+BG²=3²+4²=25，（勾股定理）
∴BD²=BC²+CD²
根據勾股定理的逆定理可得∠BCD是直角．

（2）根據圖示知，
S_{四邊形ABCD}=S_{正方形AHEJ}-S_△BCE-S_△ABH-S_△ADI-S_△DCF-S_{正方形DFJI}，
則S_{四邊形ABCD}=5×5-

1

2

×2×4-

1

2

×1×5-

1

2

×1×4-

1

2

×2×1-1×1=

29

2

，即四邊形ABCD的面積是

29

2

；

（3）設△ABD邊AD上的高為h．
由（2）知，S_{四邊形ABCD}=

29

2

．
根據圖示知，S_△ABD=S_{四邊形ABCD}-S_△BCD，由（1）知，BD=5，BC=2

5

，CD=

5

，
則

1

2

×

17

•h=

29

2

-

1

2

×

5

×2

5

，
解得，h=

19 17

17

．
所以，△ABD邊AD上的高是

19 17

17

．

點評：本題考查了勾股定理、三角形的面積以及勾股定理的逆定理．解答（2）題時，采用了“分割法”來求不規則四邊形ABCD的面積．