Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，點D、E分別是邊AB、AC的中點，連接DE，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角為α，BD、CE所在直線相交所成的銳角為β．

(1)問題發現當α＝0°時，＝_____；β＝_____°．

(2)拓展探究

試判斷：當0°≤α＜360°時，和β的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．

(3)在△ADE旋轉過程中，當DE∥AC時，直接寫出此時△CBE的面積．

Answer 1

【答案】(1)，45；(2)和β的大小無變化；(3)△BCE的面積為4或12．

【解析】

(1)利用等腰直角三角形的性質，線段的中點的定義即可判斷．

(2)結論：和β的大小無變化．如圖2中，延長CE交AB于點O，交BD于K．證明△DAB∽△EAC，即可解決問題．

(3)分兩種情形：①當點D在線段AB上時，②當點D在線段BA的延長線上時，分別求解即可．

解：(1)如圖1中，

∵∠B＝90°，BA＝BC，

∴∠A＝45°，AC＝AB，

∵點D、E分別是邊AB、AC的中點，

∴BD＝AB，EC＝AC，

∴＝，β＝45°，

故答案為，45．

(2)結論：和β的大小無變化．

理由：如圖2中，延長CE交AB于點O，交BD于K．

∵AE＝AD，AC＝AB，

∴＝，

∴，

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠DAB＝∠EAC，

∴△DAB∽△EAC，

∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，

∵∠BOK＝∠COA，

∠BKO＝∠CAO＝45°，

∴和β的大小無變化．

(3)當點D在線段AB上時，S△BCE＝×4×2＝4，

當點D在線段BA的延長線上時，S△BCE＝×4×6＝12．

綜上所述，△BCE的面積為4或12．