Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，P是邊AD上的一點，連接BP，CP過點B作射線交線段CP的延長線于點E，交AD邊于點M，且使∠ABE＝∠CBP，AB＝2，BC＝5．

（1）證明：△ABM∽△APB；

（2）當AP＝3時，求sin∠EBP的值；

（3）如果△EBC是以BC為底邊的等腰三角形，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）sin∠EBP＝；（3）AP的值為4或．

【解析】

（1）根據矩形的性質與相似三角形的判定即可求解；

（2）過點M作MH⊥BP于H，由AP＝x＝4可求出MP、AM、BM、BP，然后根據面積法可求出MH，從而可求出BH，就可求出∠EBP的正弦值；

（3）可分EB＝EC和CB＝CE兩種情況討論：①當EB＝EC時，可證到△AMB≌△DPC，則有AM＝DP，從而有xy＝5x，即y＝2x5，代入（1）中函數解析式就可求出x的值；②當CB＝CE時，可得到PC＝ECEP＝BCMP＝5y，在Rt△DPC中根據勾股定理可得到x與y的關系，然后結合y關于x的函數解析式，就可求出x的值．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A＝∠ABC＝∠DCB＝∠D＝90°，AB＝DC，

∴∠APB＝∠CBP，

∵∠ABM＝∠CBP，

∴∠ABM＝∠APB，

∵∠A＝∠A．

∴△ABM∽△APB；

（2）解：過點M作MH⊥BP于H，如圖所示：

∵△ABM∽△APB，

∴＝，即＝，

解得：AM＝，

∴MP＝AP﹣AM＝，

∴BM＝＝＝，BP＝＝＝，

∵S△BMP＝MPAB＝BPMH，

<>∴MH＝＝＝

∴sin∠EBP＝＝＝．

（3）解：設AP＝x，PM＝y．

由（1）得：△ABM∽△APB，

∴＝，即＝，

解得：y＝x﹣

①若EB＝EC，則有∠EBC＝∠ECB，

∴∠ABM＝∠DCP，

在△AMB和△DPC中，，

∴△AMB≌△DPC（ASA），

∴AM＝DP，

∴x﹣y＝5﹣x，

∴y＝2x﹣5，

∴x﹣＝2x﹣5，

解得：x＝1，或x＝4，

∵2＜x≤5，

∴AP＝x＝4；

②若CE＝CB，則∠EBC＝∠E，

∵AD∥BC，

∴∠EMP＝∠EBC＝∠E，

∴PE＝PM＝y，

∴PC＝EC﹣EP＝5﹣y，

∴在Rt△DPC中，（5﹣y）2﹣（5﹣x）2＝22，

∴3x2﹣10x﹣4＝0，

解得：x＝，或x＝（舍去），

∴AP＝x＝，

終上所述：AP的值為4或．