Question

猜想、探索規律
（1）某校生物教師李老師在生物實驗室做試驗時，將水稻種子分組進行發芽試驗；第1組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒…即每組所取種子數目比該組前一組增加2粒，按此規律，那么請你推測第100組應該有種子數．

 

粒；
（2）已知a1=

1

1×2×3

+

1

2

=

2

3

，a2=

1

2×3×4

+

1

3

=

3

8

，a3=

1

3×4×5

+

1

4

=

4

15

，…，依據上述規律，則a₉₉=

 

；
（3）下圖是一組有規律的圖案，第1個圖案由4個基礎圖形組成，第2個圖案由7個基礎圖形組成，…，那么第101個圖案中由

 

個基礎圖形組成；

（4）觀察下列各式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…，根據觀察計算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

．

Answer 1

分析：（1）第1組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒…第n組取（2n-1）粒解決問題；
（2）所有第一個加數分子是1，分母是三個連續自然數的乘積，第二個加數分子是1，分母是三個連續自然數中間的數，和的分母是三個連續自℃然數兩端數的乘積，分子是三個連續自然數中間的數，因此可求得a₉₉．
（3）第1個圖案由4個基礎圖形組成，第2個圖案由7個基礎圖形組成，第3個圖案由10個基礎圖形組成，…，第n個圖案由（3n+1）個基礎圖形組成，由此解決問題；
（4）由

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…

1

n(n+1)

=

1

n

- 

1

n+1

，代入可解決問題．

解答：解：（1）第1組3=2×1+1，
第2組5=2×2+1，
第3組7=2×3+1，
…
第n組有2n+1粒，
所以第100組應該有種子2×100+1=201粒．

（2）由a₁=

1

1×2×3

+

1

2

=

2

1×3

=

2

3

，
a₂=

1

2×3×4

+

1

3

=

3

2×4

=

3

8

，
a₃=

1

3×4×5

+

1

4

=

4

3×5

=

4

15

，
…
所以a₉₉=

1

99×100×101

+

1

100

=

100

99×101

=

100

9999

；

（3）第1個圖案由4=4×1-（1-1）=3+1個基礎圖形組成，
第2個圖案由7=4×2-（2-1）=3×2+1個基礎圖形組成，
第3個圖案由10=4×3-（3-1）=3×3+1個基礎圖形組成，
…，
那么第101個圖案中由3×101+1=304個基礎圖形組成；

（4）把

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…代入得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2008

-

1

2009

=1-

1

2009

=

2008

2009

．

點評：抓住式子的變化規律或數的變化規律，就可以解決問題．