Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D作DE⊥AC于E．

（1）求證：ED是⊙O的切線；

（2）若ED，AB的延長線相交于F，且AE=5，EF=12，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BF=.

【解析】試題分析：（1）連接OD，推出∠ODA=∠OAD=∠EAD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根據切線的判定推出即可；

（2）在Rt△AEF中，根據勾股定理求得AF=13，設⊙O的半徑為r，則有OD=r，OF=13﹣r，BF=AF﹣AB=13﹣2r，通過證明△OFD∽△AFE，根據相似三角形對應邊成比例進而求得r的值即可得..

試題解析：（1）如圖，∵DE⊥AC，

∴∠AEF=90°

連接OD，

∴OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠DAC=∠DAB，

∴∠DAE=∠ODA，

∴OD∥AE，

∴∠ODF=∠AEF=90°，

∴OD⊥EF，

∵點D在⊙O上，

∴ED是⊙O的切線；

（2）在Rt△AEF中，根據勾股定理得，AF==13，

設⊙O的半徑為r，

∴OD=r，OF=13﹣r，BF=AF﹣AB=13﹣2r，

由（1）知，OD∥AE，

∴△OFD∽△AFE，

∴，

∴，

∴r=，

∴BF=13﹣r=.