Question

【題目】如圖，在邊長為4的正方形中，點、分別是、的中點，、交于點，的中點為，連接、．給出下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論有________．（請填上所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①④

【解析】

證明△ADF≌△DCE，再利用全等三角形的性質結合余角的性質得到∠DGF=90°，可判斷①，再利用三角形等積法AD×DF÷AF可算出DG，可判斷②；再證明∠HDF=∠HFD=∠BAG，求出AG，DH，HF，可判定，可判斷④；通過AB≠AG，得到∠ABG和∠AGB不相等，則∠AGB≠∠DHF，可判斷③.

解：∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，

∵E和F分別為BC和CD中點，

∴DF=EC=2，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC，

∵∠EDC+∠DEC=90°，

∴∠EDC+∠AFD =90°，

∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，故①正確；

∵AD=4，DF=CD=2，

∴AF=，

∴DG=AD×DF÷AF=，故②錯誤；

∵H為AF中點，

∴HD=HF=AF=，

∴∠HDF=∠HFD，

∵AB∥DC，

∴∠HDF=∠HFD=∠BAG，

∵AG=，AB=4，

∴，

∴，故④正確；

∴∠ABG=∠DHF，而AB≠AG，

則∠ABG和∠AGB不相等，

故∠AGB≠∠DHF，

故HD與BG不平行，故③錯誤；

故答案為：①④.