Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E是邊AD上一點，EM⊥BC交AB于點M，點N在射線MB上，且AE是AM和AN的比例中項．

（1）如圖1，求證：∠ANE＝∠DCE；

（2）如圖2，當點N在線段MB之間，聯結AC，且AC與NE互相垂直，求MN的長；

（3）連接AC，如果△AEC與以點E、M、N為頂點所組成的三角形相似，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）DE的長分別為或3．

【解析】

（1）由比例中項知，據此可證△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再證∠AEM＝∠DCE可得答案；

（2）先證∠ANE＝∠EAC，結合∠ANE＝∠DCE得∠DCE＝∠EAC，從而知，據此求得AE＝8﹣＝，由（1）得∠AEM＝∠DCE，據此知，求得AM＝，由求得MN＝；

（3）分∠ENM＝∠EAC和∠ENM＝∠ECA兩種情況分別求解可得．

解：（1）∵AE是AM和AN的比例中項

∴，

∵∠A＝∠A，

∴△AME∽△AEN，

∴∠AEM＝∠ANE，

∵∠D＝90°，

∴∠DCE＋∠DEC＝90°，

∵EM⊥BC，

∴∠AEM＋∠DEC＝90°，

∴∠AEM＝∠DCE，

∴∠ANE＝∠DCE；

（2）∵AC與NE互相垂直，

∴∠EAC＋∠AEN＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ANE＋∠AEN＝90°，

∴∠ANE＝∠EAC，

由（1）得∠ANE＝∠DCE，

∴∠DCE＝∠EAC，

∴tan∠DCE＝tan∠DAC，

∴，

∵DC＝AB＝6，AD＝8，

∴DE＝，

∴AE＝8﹣＝，

由（1）得∠AEM＝∠DCE，

∴tan∠AEM＝tan∠DCE，

∴，

∴AM＝，

∵，

∴AN＝，

∴MN＝；

（3）∵∠NME＝∠MAE＋∠AEM，∠AEC＝∠D＋∠DCE，

又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，

∴∠AEC＝∠NME，

當△AEC與以點E、M、N為頂點所組成的三角形相似時

①∠ENM＝∠EAC，如圖2，

∴∠ANE＝∠EAC，

由（2）得：DE＝；

②∠ENM＝∠ECA，

如圖3，

過點E作EH⊥AC，垂足為點H，

由（1）得∠ANE＝∠DCE，

∴∠ECA＝∠DCE，

∴HE＝DE，

又tan∠HAE＝，

設DE＝3x，則HE＝3x，AH＝4x，AE＝5x，

又AE＋DE＝AD，

∴5x＋3x＝8，

解得x＝1，

∴DE＝3x＝3，

綜上所述，DE的長分別為或3．