Question

已知a、b、c為△ABC的三條邊，且滿足a²+b²+c²=10a+24b+26c-338．
（1）試判斷三角形的形狀；
（2）求三角形最長邊上的高．

Answer 1

分析：（1）先將式子進行化簡，配方成完全平方的形式，求得a，b，c，根據勾股定理的逆定理進行判斷即可；
（2）根據（1）求出三角形的面積，再由最長邊乘以最長邊上的高除以2也等于這個三角形的面積，求出最長邊上的高．

解答：解：（1）∵a²+b²+c²=10a+24b+26c-338
∴a²-10a+b²-24b+c²-26c+338=0
a²-10a+25+b²-24b+144+c²-26c+169=0
（a-5）²+（b-12）²+（c-13）²=0（2分）
∴（a-5）²=0，（b-12）²=0，（c-13）²=0
∴a=5，b=12，c=13（3分）
∴a²+b²=c²=169
∴△ABC是直角三角形；（4分）

（2）△ABC最長邊為c，
設c上的高為h．
S_△ABC=

1

2

ab
=

1

2

×5×12
=30，
又∵S_△ABC=

1

2

ch=30

1

2

•13h=30，
∴h=

60

13

．（7分）

點評：本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可；直角三角形有兩種求面積的方法．