Question

【題目】在邊長為的等邊三角形中，是邊上任意一點，過點分別作，，、分別為垂足．

（1）求證：不論點在邊的何處時都有的長恰好等于三角形一邊上的高；

（2）當的長為何值時，四邊形的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）PM+PN=CD；（2）1，.

【解析】

試題分析：（1）連接AP，過C作CD⊥AB于D，根據等邊三角形的性質得到AB=AC，根據三角形的面積公式列方程即可得到結論；

（2）設BP=x，則CP=2﹣x，由△ABC是等邊三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），根據二次函數的性質即可得到結論．

試題解析：（1）連接AP，過C作CD⊥AB于D，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，

∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，

∴AB·CD=AB·PM+AC·PN，

∴PM+PN=CD，

即不論點P在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高；

（2）設BP=x，則CP=2﹣x，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵PM⊥AB，PN⊥AC，

∴BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），

∴四邊形AMPN的面積=×（2﹣x）x+ [2﹣（2﹣x）]·（2﹣x）=，

∴當BP=1時，四邊形AMPN的面積最大，最大值是．