Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC交AC的延長線于點E，連接OE，OE交AD于點F．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若，求的值；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）由角平分線的定義和等腰三角形的性質，得∠EAD=∠ADO，從而得OD∥AE，根據切線的判定定理，即可得到結論；

（2）連接OD，BC交OD于G，由垂徑定理得BG=CG，設AC=3k，AB=5k（k≠0），由勾股定理和矩形的性質表示出CE，從而得AE，然后由平行線分線段成比例定理，即可求解．

（1）連接OD，

∵∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，

∴∠BAD=∠EAD，

∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ADO，

∴∠EAD=∠ADO，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）連接OD，BC交OD于G，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°．

又∵OD∥AE，

∴∠OGB=∠ACB=90°，

∴OD⊥BC，

∴G為BC的中點，即BG=CG，

又∵，

∴設AC=3k，AB=5k（k≠0），根據勾股定理得：BC=═4k，

∴OB=AB=，BG=BC=2k，

∴OG==，

∴DG=OD﹣OG=﹣=k．

又∵四邊形CEDG為矩形，

∴CE=DG=k，

∴AE=AC+CE=3k+k=4k，

∵OD∥AE，

∴ ．