Question

24、如圖，AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，連接EF交AD于點G．
（1）求證：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC=60°，猜測DG與AG間有何數量關系？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AD為△ABC的角平分線，得到DE=DF，推出∠AEF和∠AFE相等，得到AE=AF，即可推出結論；（2）由已知推出∠EAD=30°，得到AD=2DE，在△DEG中，由∠DEG=30°推出DE=2DG，即可推出結論．

解答：（1）證明：∵AD為△ABC的角平分線，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
∴∠DEF=∠DFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF
∴點A、D都在EF的垂直平分線上，
∴AD垂直平分EF．

（2）答：AG=3DG．
理由：∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=30°，
∴AD=2DE，∠EDA=60°，
∵AD⊥EF，∴∠EGD=90°，
∴∠DEG=30°
∴DE=2DG，
∴AD=4DG，
∴AG=3DG．

點評：本題主要考查了角平分線的性質，線段垂直平分線的性質，含30°角的直角三角形的性質等知識點，解此題的關鍵是（1）證AE=AF和DE=DF；（2）證AD=2DE和DE=2DG．題目比較典型，綜合性強．